[Αρχική σελίδα]

Ανάστροφοι και αντίστροφοι

Από Quantitative

Αρχική σελίδα | Πρόσφατες αλλαγές | Εμφάνιση κώδικα | Page history | Δημιουργία Λογαριασμού/Είσοδος |

Εκτυπώσιμη έκδοση | Αποποίηση ευθυνών | Privacy policy

Ανάστροφοι και Αντίστροφοι πίνακες

  Ανάστροφος πίνακας 

Ανάστροφος ( Α΄ ) ενός πίνακα Α, λέγεται ο πίνακας που προκύπτει από τον Α αν οι σειρές γίνουν στήλες και οι στήλες σειρές με την ίδια ακολουθία ( δηλαδή, η πρώτη σειρά να γίνει πρώτη στήλη, η δεύτερη σειρά δεύτερη στήλη , κοκ ).

 Για παράδειγμα     οι πίνακες 
             2     1     0                                   2      5     -1
  Α =    -2    3     4                        Β =     1      3       2

-2 7 6

έχουν ανάστροφους τους πίνακες

             2   -2                                           2      1    -2
Α΄ =     1     3                               Β΄ =    5      3      7
0     4                                         -1      2      6


Αν ένας πίνακας Α συμπίπτει με τον ανάστροφο του Α΄ ,τότε ο Α λέγεται συμμετρικός.Α = Α΄. Για παράδειγμα

  2    -1    1                            2     -1    1
 Α   =    -1    6     0                 Α΄  =   -1    6    0	→     Α   =    Α΄
  1    0     7                             1     0    7


δηλαδή, ο Α είναι συμμετρικός . Η συμμετρία είναι προφανή ως προς την κύρια διαγώνιο.

Ιδιότητες ανάστροφων :

                ( A΄)  = Α 
         ( Α+Β) ΄   =   Α΄+ Β΄
           ( ΑΒ) ΄   =   Β΄Α΄

Οι παραπάνω ιδιότητες χαρακτηρίζουν τους ανάστροφους πίνακες . Αντίστροφος πίνακας

  Από έναν πίνακα Α μπορεί πάντα να παραχθεί ο ανάστροφος  Α ΄. Από την άλλη όμως μεριά, ο αντίστροφος του μπορεί να υπάρχει ή όχι.  Ο αντίστροφος του πίνακα Α , ορίζεται μόνο όταν ο Α είναι τετραγωνικός. 
  Για αυτό ας ορίσουμε τον τετραγωνικό πίνακα. 
   Ένας πίνακας Α λέγεται τετραγωνικός όταν το πλήθος των σειρών ( γραμμών ), ισούται με το πλήθος των στηλών του δηλαδή , είναι πίνακας  νxν. Λέμε τότε ότι ο Α είναι τετραγωνικός πίνακας τάξεων ν. Για παράδειγμα οι πίνακες : 
                       1    2	                    4     2    3     0
              Α =  -1    4                           Β =      6     1   -1    2
                                                                      -3     2     1    1	

0 6 7 8

είναι τετραγωνικοί πίνακες .

     Ο Α είναι τάξεως  2 , δηλαδή   2x2 , ενώ ο Β είναι  4x4 ( τάξεως 4 ).
     Ο αντίστροφος του πίνακα Α , που συμβολίζεται με  Α-1

ορίζεται μόνο αν ο Α είναι τετραγωνικός , και ο αντίστροφος είναι ο πίνακας που ικανοποιεί τη συνθήκη Α (αντίστροφος του Α) = (αντίστροφος του) Α = Ι . Δηλαδή είτα ο Α πολλαπλασιάζεται από αριστερά είτε από δεξιά το γινόμενο θα είναι ο ίδιος πίνακας Ι , όπου ο Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας Ι , βέβαια της ίδιας τάξεως με τον Α.

Παράδειγμα . 3 1 2 -1

                  Έστω Α =    0   2            και Β =  1/6       0    3


3 1 2 -1 1 0 Α∙ Β = 0 2 0 3 1/6 = 0 1


Αυτό αποδεικνύει ότι ο Β είναι ο αντίστροφος του Α και αντίστροφα. Ο αντίστροφος πολλαπλασιασμός όπως αναμένεται μας δίνει τον ίδιο πίνακα

   	 1      0 

Β Α = 0 1

Πρέπει να τονίσουμε ότι εάν ο τετραγωνικός πίνακας έχει έναν αντίστροφο , ο Α καλείται μη ιδιάζων. Αν ο Α δεν έχει αντίστροφο, καλείται μη ιδιάζων πίνακας. Εάν ένας αντίστροφος υπάρχει , τότε είναι μοναδικός.




Ανάστροφοι και αντίστροφοι
     ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΙ
   Αν εναλλάξουμε  τις γραμμές με τις στήλες του πίνακα    


A=\left( a_{ij} \right)


παίρνουμε έναν πίνακα ο οποίος συμβολίζεται


AT,


ονομάζεται αντίστροφος του Α και έχει στοιχείο j,i το στοιχείο i,j toy A :


A^{T}=\left( a_{ji} \right).


    Iσχύουν οι παρακάτω ιδιότητες :

Εικόνα:EA5.jpg

Εικόνα:ΕΑ6.jpg

Εικόνα:ΕΑ7.jpg

Εικόνα:EA8.jpg

  Οι τρείς πρώτες είναι προφανείς . Προκύπτει εύκολα απο την τελευταία ότι για κάθε τετραγωνικό πίνακα Α  και θετικό ακέραιο εκθέτη κ , ισχύει :



\left( \Alpha ^{\kappa } \right)^{\Tau }=\left( \Alpha ^{\Tau } \right)^{\kappa }



     Ο συμβολισμός του ανάστροφου πίνακα χρησιμοποιείται συχνά για τα διανύσματα- στήλες 

(n*1 πίνακες ) και τα διανύσματα γραμμές (1*n πίνακες)

      π.χ. Αν έχουμε  τα διανύσματα στήλες :



Εικόνα:ΕΑ9.jpg



      τότε τα αντίστοιχα διανύσματα- γραμμές  συμβολίζονται   


xΤΤ


Η ποσότητα


xΤψ = χ1ψ1 + χ2ψ2 + .......... + χnψn


ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων χ και ψ .



                 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ


     ΟΡΙΣΜΟΙ   ΚΑΙ    ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ


Ο αντίστροφος πίνακας του n*n πίνακα A oρίζεται ως ο πίνακας Χ που ικανοποιεί τη σχέση :



AX = XA = In.


  Αν ο πίνακας Χ υπάρχει τότε ορίζεται απο την παραπάνω σχέση μονοσημάντως. Πράγματι , αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δυο πίνακες  χ1 και χ2 τότε θα έχουμε : 


AX1 = Ιn


και πολλαπλασιάζοντας απο αριστερά με τον πίνακα χ2 παίρνουμε :



\left[ X_{2}A \right]X_{1}=X_{2}I_{n}


       δηλαδή θα ισχύει :


InX1 = X2In


και επομένως οι δύο πίνακες ταυτίζονται : χ1=χ2 . Ο αντίστροφος πίνακας συμβολίζεται


A − 1


και η αρχική μας σχέση γράφεται :



AA − 1 = A − 1A = In


  εφαρμόζοντας την ιδιότητα det(AB)=detA detB για το γινόμενο 


AA − 1


θα έχουμε :



\det \left( AA^{-1} \right)=\det A\det \left( A^{-1} \right)=\det I_{n}=1


Προκύπτει ότι για να υπάρχει ο αντίστροφος πρέπει ο πίνακας να έχει μη μηδενική ορίζουσα, detA? 0 , δηλαδή πρέπει ο Α να είναι μη ιδιάζον πίνακας και στην περίπτωση αυτή μπορούμε να γράψουμε :



\det \left( A^{-1} \right)=\frac{1}{\det A}.


   Η συνθήκη αυτή είναι και ικανή δηλαδή αν ο πίνακας Α  είναι μη ιδιάζων τότε υπάρχει και ο αντίστροφός του  ,πράγμα που προκύπτει απο το γεγονός ότι στην περίπτωση αυτή μπορούμε να  βρούμε τον πίνακα Χ που ικανοποιεί τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα του Α  . πράγματι , έστω ο ανάστροφος πίνακας των συμπολλαπλασιαστών του Α  που ονομάζεται προσαρτημένος του Α  και συμβολίζεται adjA :




adjA=\left( \begin{matrix}    A_{11} & A_{21........} & A_{n1}  \\    \vdots  & \ddots  & \vdots   \\    A_{n1} & \cdots  & A_{nn}  \\ \end{matrix} \right)




  και ας πολλαπλασιάσουμε τον Α  απο δεξιά με τον προσαρτημένο του πίνακα . Λόγω των παραπάνω σχέσεων θα έχουμε :



Εικόνα:Ε10.jpg


    δηλαδή


AadjA = IndetA


Και επειδή υποθέσαμε detA?0 :


A\frac{adjA}{\det A}=I_{n}.



 ομοίως πολλαπλασιάζω τον Α  απο αριστερά με τον προσαρτημένο του πίνακα . Έχω :





\frac{adjA}{\det A}A=I_{n},


και επομένως ο προσαρτημένος πίνακας του Α διαιρεμένος με την ορίζουσα του Α ικανοποιεί τον ορισμό και είναι ο αντίστροφος του πίνακα Α :



A^{-1}=\frac{1}{\det A}adjA,


               ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ


A=\left( \begin{matrix}    2 & -3 & -4  \\    -1 & 4 & 5  \\    1 & -3 & -4  \\ \end{matrix} \right)


Του οποίου βρίσκουμε την ορίζουσα : detA= -1

και επομένως ο αντίστροφος του Α είναι :



A^{-1}=\frac{1}{\left( -1 \right)}\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{21} & a_{31}  \\    a_{12} & a_{22} & a_{32}  \\    a_{13} & a_{23} & a_{33}  \\ \end{matrix} \right)=-\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    1 & -4 & -6  \\    -1 & 3 & 5  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    1 & 0 & -1  \\    -1 & 4 & 6  \\    1 & -3 & -5  \\ \end{matrix} \right)





    ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ



1.)μάθαμε ότι το γινόμενο δύο πινάκων μπορεί να ισούται με τον έναν απο τους παράγοντες χωρίς ο άλλος να είναι ο μοναδιαίος πίνακας :

                             ΑC=Α,                      C?I



           Tώρα μπορούμε να δούμε ότι αυτό συμβαίνει μόνο αν ο πίνακας Α  είναι ιδιάζων, γιατί διαφορετικά θα υπήρχε ο αντίστροφος και πολλαπλασιάζοντας θα είχαμε 


A − 1AC = A − 1A




δηλαδή θα ήταν C=I



2.)Oμοίως είδαμε ότι το γινόμενο δύο πινάκων μπορει να είναι μηδέν χωρίς κάποιος παράγοντας να είναι μηδενικός πίνακας :

                           ΑΒ=0,                 Α,Β?Ο

και μπορούμε να δούμε ότι αυτό συμβαίνει μόνο αν οι πίνακες Α,Β είναι ιδιάζοντες . Διαφορετικά αν π.χ, υπήρχε ο αντίστροφος του Α , τότε πολλαπλασιάζοντας θα είχαμε


A − 1AB = A − 10


δηλαδή θα είχαμε Β=0



3.) Παρατηρούμε ότι για δύο μη ιδιάζοντες n*n πίνακες Α,Β ισχύει η σημαντική ιδιότητα





            \left( AB \right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}




4.)Ο αντίστροφος Χ του ανάστροφου πίνακα μπορεί να βρεθεί από τη σχέση :




XAT = I




  η οποία γίνεται 




\left( XA^{T} \right)^{T}=\left( A^{T} \right)^{T}X^{T}=AX^{T}=I^{T}=I


και επομένως




XT = A − 1


Οπότε αναστρέφοντας βρίσκουμε :



\left( X^{T} \right)^{T}=X=\left( A^{-1} \right)^{T}\Rightarrow \left( A^{T} \right)^{-1}=\left( A^{-1} \right)^{T}



   Ο αντίστροφος του ανάστροφου ισούται με τον ανάστροφο του αντίστροφου.

Ανακτήθηκε από το "http://androulakis.bma.upatras.gr/mediawiki/index.php/%CE%91%CE%BD%CE%AC%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%86%CE%BF%CE%B9_%CE%BA%CE%B1%CE%B9_%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%AF%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%86%CE%BF%CE%B9".

Αυτή η σελίδα έχει προσπελαστεί 13.098 φορές. Η σελίδα αυτή τροποποιήθηκε τελευταία φορά στις 12:31, 14 Σεπτεμβρίου 2008.