[Αρχική σελίδα]

Κατανομή Poisson

Από Quantitative

Αρχική σελίδα | Πρόσφατες αλλαγές | Εμφάνιση κώδικα | Page history | Δημιουργία Λογαριασμού/Είσοδος |

Εκτυπώσιμη έκδοση | Αποποίηση ευθυνών | Privacy policy

Πίνακας περιεχομένων

Κατανομή Poisson

Η κατανομή πιθανότητας Poisson είναι χρήσιμη για τον προσδιορισμό της πιθανότητας του αριθμού των περιστατικών σε μια δεδομένη χρονική περίοδο ή σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Άρα, η τυχαία μεταβλητή Poisson μετράει περιστατικά σε ένα συνεχές διάστημα χρόνου. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση διωνυμικής πιθανότητας όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι μικρή (p < = 0.05) και ο αριθμός των δοκιμών μεγάλος (n > = 20).


  Τύπος:P(x) = \frac {m^x \cdot e^{-m}}{x!} , για x=1,2,3...


όπου m είναι η αναμενόμενη τιμή της κατανομής (που συμπίπτει με τη διακύμανση) και e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου (e=2.71828...).

Αυτή η κατανομή περιγράφει φαινόμενα όπως είναι η ζήτηση ενός προιόντος σε τεμάχια, το πλήθος των τηλεφωνημέτων που φθάνουν σ'έναν κεντρικό σταθμό, το πλήθος των ατυχημάτων, το πλήθος αφίξεων 'ένα αεροδρόμιο, καθώς και το πλήθος των ελαττωμάτων που παρουσιάζονατι στην επιφάνεια ορισμένων αντικειμένων ανά μέτρο, ή τετραγωνικό μέτρο ή κυβικό μέτρο.

Γενικά, αν για μια κατανομή Poisson έχουμε κατά μέσο όρο, μ επιτυχίες στο χρονικό διάστημα (0, t), τότε στο χρονικό διάστημα (0,t1)με t1 < t θα έχουμε κατά μέσο όρο μ1 = / mu * t1 / tεπιτυχίες.

Έτσι, αν το ερώτημα αναφέρεται στο διάστημα (0,t1) χρησιμοποιούμε την Poisson με παράμετρο μ1

Στοχαστική ανέλιξη (διαδικασία) Poisson

Ας θεωρήσουμε ένα τυχαίο πείραμα στο οποίο ένα ενδεχόμενο Α μπορεί να εμφανίζεται (πραγματοποιείται) σε διάφορες χρονικές στιγμές ή σε διάφορα σημεία του χώρου (μονοδιάστατου, διδιάστατου ή τριδιάστατου). Για παράδειγμα σε ένα σταθμό βενζίνης το ενδεχόμενο άφιξης αυτοκινήτου μπορεί να πραγματοποιηθεί σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή όπως και σε μια πλάκα Petri με βακτηρίδια το ενδεχόμενο παρατήρησης με το μικροσκόπιο σκοτεινού σημείου (το οποίο σημαίνει την ύπαρξη αποικίας βακτηριδίων) μπορεί να εμφανισθεί σε οποιοδήποτε σημείο αυτής (δηλαδή σημείο του επιπέδου). Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες του πειράματος παραμένουν αμετάβλητες στο χρόνο ή το χώρο και ότι ο αριθμός εμφανίσεων του Α σε δύο ξένα μεταξύ τους χρονικά ή χωρικά διαστήματα είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η πιθανότητα όπως το ενδεχόμενο Α πραγματοποιηθεί μια φορά σε ένα μικρό χρονικό διάστημα είναι ανάλογη του μήκους του, ενώ η πιθανότητα όπως το ενδεχόμενο Α πραγματοποιηθεί δύο ή περισσότερες φορές στο μικρό αυτό χρονικό διάστημα είναι αμελητέα.

Στο τυχαίο αυτό πείραμα ας παραστήσουμε με Xt τον αριθμό εμφανίσεων του Α σε χρονικό ή χωρικό διάστημα μήκους t. Για δεδομένο t, η Xt είναι μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να πάρει τις τιμές 0,1, 2,... , ενώ όταν το t μεταβάλλεται, η Xt , t ≥ 0 , ορίζει μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών η οποία καλείται στοχαστική ανέλιξη (ή διαδικασία). Για τον προσδιορισμό της συνάρτησης πιθανότητας της t X χωρίζουμε το διάστημα (0,t] σε ένα μεγάλο αριθμό ν υποδιαστημάτων μήκους Δt = t/ν . Σε κάθε τέτοιο διάστημα θα έχουμε σύμφωνα με τις συνθήκες του πειράματος είτε μια πραγματοποίηση του Α (επιτυχία) με πιθανότητα pv ≅ θΔt = θt/ν , θ>0 , είτε καμμιά πραγματοποίηση του Α (αποτυχία) με πιθανότητα qv = 1− pv .

Μια ραδιενεργός πηγή εκπέμπει σωμάτια α. Ο αριθμός των σωματίων που φθάνουν σε δεδομένο τμήμα του χώρου σε χρόνο t αποτελεί το πιο γνωστό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Poisson. Στο περίφημο πείραμα των Rutherford, Chadwick και Ellis (1920) παρατηρήθηκε μια ραδιενεργός πηγή για ν = 2608 χρονικά διαστήματα των 7.5 δευτερολέπτων. Τα παρατηρηθέντα αποτελέσματα βρέθηκαν πολύ κοντά στα αντίστοιχα θεωρητικά που δίδει η κατανομή Poisson με λ = 3.87 .

Υποθέσεις της Poisson

(a)Η πιθανότητα ένα γεγονός να συμβεί σε ένα σύντομο χρονικό διάστημα είναι ανάλογη με το μέγεθος του διαστήματος.

(b)Σε ένα μικρό χρονικό διάστημα, η πιθανότητα να συμβούν δύο γεγονότα είναι σχεδόν μηδενική.

(c)Η πιθανότητα εμφάνισης ενός πλήθους γεγονότων σε ένα δοσμένο διάστημα είναι ανεξάρτητη από το σημείο εκκίνησης του διαστήματος.

(d)Η πιθανότητα εμφάνισης ενός πλήθους γεγονότων σε ένα δοσμένο διάστημα είναι ανεξάρτητη από το πλήθος των γεγονότων που εμφανίστηκαν πριν από το χρονικό αυτό διάστημα.


Παρόλο ότι οι συνθήκες είναι ανάλογες με εκείνες που εφαρμόζουμε στη διωνυμική κατανομη υπάρχουν όμως δύο ουσιώδεις διαφορές:

(a)η πιθανότητα εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού σε συφκεκριμένο χρονικό διάστημα είναι πολύ μικρή , σχεδόν μηδενική.

(b)O αριθμός των διαστημάτων που εξετάζουμε (μέγεθος δείγματος)είναι πολύ μεγάλος.


Παράδειγμα

Ο αριθμός των τυπογραφικών λαθών σε καινούργιες εκδόσεις βιβλίων ποικίλει από βιβλίο σε βιβλίο. Ύστερα από κάποια ανάλυση συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός των λαθών ακολουθεί κατανομή Poisson με μέση τιμή 1.5 ανά 100 σελίδες. Ένας λέκτορας τυχαία επιλέγει 100 σελίδες ενός καινούργιου βιβλίου. Ποια είναι η πιθανότητα ότι δεν υπάρχουν τυπογραφικά λάθη; Δηλαδή, πόσο είναι P(X=0) δοθέντος ότι λ =1.5;

έτσι: P(x)=\frac {e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = \frac {e^{-1.5} 1.5^0}{0!} = 0.2231 και για x=0,1,2...


Υπάρχει περίπου 22% πιθανότητα να μη βρεθούν λάθη στις 100 επιλεγμένες σελίδες

Παράδειγμα 2

Θεωρούμε ότι τα καταστήματα που κλείνουν κατάτην τελευταία 20ετία είναι κατά μέσο όρο 7.2 τον χρόνο. Αν Χ παρουσιάζει το πλήθος των καταστημάτων που κλείνουν, τότε να βρεθεί η πιθανότητα όπως κανένα κατάστημα δεν κλείνει μέσα σε 4 μήνες.

Λύση

λ=7.2(\frac{1}{3})=2.4.

P(X=0)=\frac{2.4^{0}e^{-2.4}}{0!}=0.091.

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON

α) Επικρατέστερη Τιμή
Ρ(χ)\geqΡ(χ + 1)        και       Ρ(χ)\geqΡ(χ-1)
χ \geq λ - 1 
χ \leq λ

λ -1 \leq χ \leq λ

Δηλαδή η επικρατέστερη τιμή χ κίνα ι ο μεγαλύτερος από τους δύο ακέραιους λ -1 και λ ή αυτός που περιέχεται μεταξύ τους, όταν αυτοί δεν είναι ακέραιοι.

β) Μέση Τιμή                    \bar{x} = λ
γ) Διακύμανση                   Var(x)= λ
δ) Ασυμμετρία και Κύρτωση
\beta_1=\frac{1}{\lambda}
\beta_2=3+ \frac{1}{\lambda}
 

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

σ = ρίζα λ


ΤΥΠΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ POISSON


0!=1

1!=0

α^0=1 , λ= συχνότητα εμφάνισης


1. P(x≤1)= P(x=0)+ P(x =1)

2. P(x≤2)= P(x=0)+ P(x =1)+ P(x=2)= 1- P(x 2)

3. P(x≤n)= 1- P(x>n)

4. P(x≥1)= 1- P(x=0)

5. P(x≥n)= 1- P(x<n)

6. EX= VarX= λ (μέση τιμή= διασπορά= σ.ε.)


Μερικές περιπτώσεις που μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κατανομή Poisson

1) Αριθμός τηλεφωνικών κλήσεων που φτάνου σε ένα τηλεφωνικό κέντρο σε μια δεδομένη χρονική περίοδο.

2) Αριθμός πελατών που επισκέπτονται ένα κατάστημα σε μία χρονική περίοδο ή αριθμός πελατών ενός καταστήματος οι οποίοι αγοράζουν ένα συγκεκριμένο προϊόν κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων κλπ.

3) Αριθμός παιδιών ενός πληθυσμού τα οποία θα αποκτήσουν ύψος μεγαλύτερο του 1.95 m

4) Αριθμός ατόμων ενός πληθυσμού τα οποία ζουν περισσότερο απο 90 χρόνια

5) Αριθμός ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από μια συγκεκριμένη γραμμή παραγωγής σε ένα χρονικό διάστημα.

Πηγή:[1]

Ανακτήθηκε από το "http://androulakis.bma.upatras.gr/mediawiki/index.php/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B1%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%AE_Poisson".

Αυτή η σελίδα έχει προσπελαστεί 4.443 φορές. Η σελίδα αυτή τροποποιήθηκε τελευταία φορά στις 17:42, 5 Μαρτίου 2013.