[Αρχική σελίδα]

Πως βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα

Από Quantitative

Αρχική σελίδα | Πρόσφατες αλλαγές | Επεξεργασία αυτής της σελίδας | Page history | Δημιουργία Λογαριασμού/Είσοδος |

Εκτυπώσιμη έκδοση | Αποποίηση ευθυνών | Privacy policy

Fwteini

Έστω ο τετραγωνικός πίνακας A_{n \times n}:

A=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}  \\    \vdots  \\    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}  \\ \end{matrix} \right)

Ο αντίστροφος ενός πίνακα Α ορίζεται ως εξής:A^{-1}= \frac {1}{A}adjA(σχ.1). Για τον υπολογισμό του ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

1)Υπολογίζουμε την ορίζουσα (detA) του πίνακα Α. Αν η ορίζουσα του πίνακα είναι μηδέν τότε ο πίνακας αυτός δεν έχει αντίστροφο. Αν η ορίζουσα έχει μη μηδενική τιμή τότε ο πίνακας έχει αντίστροφο, ο οποίος ορίζεται από τη σχέση AA − 1 = A − 1A = I όπου Ι ο μοναδιαίος πίνακας.

2)Εφόσον η ορίζουσα είναι διάφορη του μηδενός, βρίσκουμε τα συμπληρώματα των στοιχείων του Α και δημιουργούμε έναν καινούριο πίνακα Β με τα στοιχεία που βρήκαμε. Ορίζουμε το συμπλήρωμα του στοιχείου aij ίσο με ( − 1)i + j επί την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει αν διαγράψουμε τη σειρά και τη στήλη του στοιχείου aij. Το συμπλήρωμα του στοιχείου aij το συμβολίζουμε με cij.

B=\left( \begin{matrix}    c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n}  \\    c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n}  \\    \vdots  \\    c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nn}  \\ \end{matrix} \right)

3)Στη συνέχεια βρίσκω τον ανάστροφο του πίνακα Β, ο οποίος έχει γραμμές τις στήλες του Β και στήλες τις γραμμές του Β. Ισούται δηλαδή με B^T=\left( \begin{matrix}    c_{11} & c_{21} & \dots & c_{n1}  \\    c_{12} & c_{22} & \dots & c_{n2}  \\    \vdots  \\    c_{1n} & c_{2n} & \dots & c_{nn}  \\ \end{matrix} \right)

4)Ο ανάστροφος του πίνακα Β όμως ισούται με τον συμπληρωματικό (adjA) του πίνακα Α. Mε αντικατάσταση στη σχέση 1 βρίσκουμε τον αντίστροφο.

παράδειγμα: Έχουμε έναν τετραγωνικό πίνακα A_{2 \times 2}: A=\left( \begin{matrix}    8 & 3   \\    1 & 2   \\ \end{matrix} \right)

1)Βρίσκω την ορίζουσα detA=8*2-3*1=13. Είναι διάφορη του μηδενός άρα υπάρχει αντίστροφος.

2)Φτιάχνω τον πίνακα με τα συμπληρωματικά των στοιχείων του Α. B=\left( \begin{matrix}    2 & -1   \\    -3 & 8   \\ \end{matrix} \right)

3)Βρίσκω τον ανάστροφο του Β, ο οποίος ισούται με τον adjA. B^T=adjA=\left( \begin{matrix}    2 & -3   \\    -1 & 8   \\ \end{matrix} \right)

4)Βρίσκω τον αντίστροφο του Α: A^{-1}= \frac {1}{A}adjA= \frac {\left( \begin{matrix}    2 & -3   \\    -1 & 8   \\ \end{matrix} \right)}{13}=\left( \begin{matrix}    \frac {2}{13} &  \frac {-3}{13}   \\    \frac {-1}{13} &  \frac {8}{13}  \\ \end{matrix} \right)

Anastasia 21:25, 8 Φεβρουαρίου 2014 (EET)

Παράδειγμα

θα υπολογίσω τον αντίστροφο του πίνακα A= \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 5 & 6 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}

Υπολογίζω την ορίζουσα του πίνακα για να δω αν έχει αντίστροφο.

detA = 3( − 18) − ( − 2)( − 17) + 1( − 6) = − 94

detA = − 94 συνεπώς ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

Υπολογίζω τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του.

M11 = − 18, M12 = 17, M13 = − 6

M21 = − 6, M22 = − 10, M23 = − 2

M31 = − 10, M32 = − 1, M33 = 28

Τότε adj(A)= \begin{bmatrix} -18 & -6 & -10 \\ 17 & -10 & -1 \\ -6 & -2 & 28 \end{bmatrix} και A^{-1}=\frac{adjA}{detA}

Οπότε, τελικά έχουμε A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{18}{94} & \frac{6}{94} & \frac{10}{94} \\ \\[0.3em] -\frac{17}{94} & \frac{10}{94} & \frac{1}{94} \\ \\[0.3em] \frac{6}{94} & \frac{2}{94} & \frac{28}{94} \end{bmatrix}

Ανακτήθηκε από το "http://androulakis.bma.upatras.gr/mediawiki/index.php/%CE%A0%CF%89%CF%82_%CE%B2%CF%81%CE%AF%CF%83%CE%BA%CE%BF%CF%85%CE%BC%CE%B5_%CF%84%CE%BF%CE%BD_%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%AF%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%86%CE%BF_%CF%80%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B1".

Αυτή η σελίδα έχει προσπελαστεί 24.286 φορές. Η σελίδα αυτή τροποποιήθηκε τελευταία φορά στις 23:21, 8 Φεβρουαρίου 2014.